学过统计的同学都对置信区间的概念非常熟悉，实际上，离开置信区间谈统计值没啥意义，或者说经常会造成很大的误导。简单来讲，置信区间是指基于观测样本来估计一个未知参数（如均值）时，我们相当确定（用置信度来度量）参数可能的取值范围。如果不考虑置信区间的概念，在我们观察到有 2 个用户喜欢一个视频、1 个用户不喜欢一个视频时，会估计该视频的推荐度为 66%，而认为它是一个高质量的视频，如果一旦将它进行大规模推荐时，很可能发现这个视频的实际转化率低的可怜。
因此在推荐里，置信区间是需要密切关注的概念。在推荐领域实践中，我从 3 个简单的算法来分别介绍置信区间的应用。
Wilson 区间法来判断视频质量
在引言的例子中，我们组的海威同学利用 Wilson 区间法来估计视频的推荐度，或者说，来建立视频质量评估模型（模型的一部分）。利用视频播放行为数据来统计视频的播放转化率时，假设视频展示的总数为 $n$，用户实际播放的总数为 $m$，则直接计算出来的播放转化率为 $p=\frac{m}{n}$。如果 $n$ 越大，说明 $p$ 的估计置信度越高，否则置信度越低。由于视频质量直接决定了我们是否会大规模推荐这个视频，因此在估计 $p$ 时采用的是宁缺毋滥的策略，这个时候可以巧妙的用置信区间的下界来代替 $p$ 作为播放转化率的估计。
具体到 Wilson 区间的计算公式，可以参考wiki（基于正态分布假设），这里只搬个公式：
其中，$z$ 为某置信度（如 95% 置信度）下查表可得，$n$ 在实际代入时，需要加上平滑因子（如 0.1），防止展示数据丢失导致 $n=0$。从公式可知，基于 Wilson 区间估计的播放转化率最小接近于 0（$n$ 在实际时很可能取到平滑因子），最大接近于 $p$。
UCB算法来平衡探索与应用（E&E）
Wilson区间法是用置信区间的下限来减少数据量不足时误判的可能，主要是用来选出精品视频用来广泛推荐。但是一直这样保守推荐，会导致有些视频得不到充分的曝光，就难以评估其实际的转化率，导致推荐出来的所谓精品只是次优的选择。因此，在应用（Expoit）目前已知比较好的视频进行推荐的同时，也要保持一定比例的探索（Explore），即尝试一下那些曝光较少的视频。EE算法里一个常用的算法是 LinUCB，由于涉及特征构造，这里只介绍一个简化版本 UCB，大致思路是一样的。
UCB（Upper Confidence Bound）是一种多臂老虎机算法（MAB），也勉强算一种简化的强化学习算法，调性十足。同样以估计播放转化率为例，它的思路是利用置信区间的上界来代替 $p$ 作为估计值，实际上是提高了曝光不足视频（即长尾视频）的估计值。
UCB 主要解决的问题在于，如何计算置信区间的上界，既能保证随着曝光总量的增加，那些未被探索的视频越来越少，又能保证长久来看，能选到精品的视频。为了实现这个目标，一个常用的启发式公式如下：
其中，$p_i$ 为某个视频 $n_i$ 次曝光计算的平均转化率，$t$ 表示所有视频总共的曝光数。可以看到，随着曝光总数的增加，曝光很少的视频第二项值会很大，因此所有视频都会得到保底的曝光（t=100000 时至少有 28 次）。但是随着 $n_i$ 继续增加，主要决定因素又变成了 $p_i$，即历史平均转化率高的视频更可能被选中。
Thompson 采样来进行随机长尾推荐
UCB 算法在实际于新物品增加快的场景（例如短视频推荐，平均每天新增几万部短视频）时，由于计算过程是确定性的，存在一直只推新物品的问题。为了增加一些随机性，可以考虑用 Thompson 采样算法。它既不使用置信区间的上界，也不使用下界，而是每次基于 Beta(m, n-m) 分布进行采样（注意，这里的 m 和 n 是每个视频单独维护的参数）。
我们知道，Beta 分布实际上是“白努力”过程的成功率，曝光数 $n$ 越大，Beta 分布的曲线越像是一个倒钟的形状，且钟的开口越窄，最后收于期望：$p=\frac{m}{n}$。反过来说，当使用 Thompson 采样来选择推荐的视频时，虽然每个视频长期来选中的概率取决于其转化率，但是当曝光数量少时，Beta 分布开口很大，也更容易得到比期望大或者小的采样结果，从而引入了随机性。不过从实际应用来看，当媒资库时的视频数量很多时，大部分选中的视频还是新视频。
本文简单的介绍了统计区间在推荐中的一些简单应用，既有利用置信区间的下界来选精品，也有利用置信区间的上界来探索，还有利用整个分布来引入随机性。所有算法都是用简单的数学公式就能达到我们期望的效果，是比人工规则优美的多的形式。当然，举的示例都是推荐的核心问题，没有这么简单就能讲清楚，涉及大量的数据处理和参数调优，需要不断尝试和改进。